{"id":3416,"date":"2016-10-09T22:25:06","date_gmt":"2016-10-09T20:25:06","guid":{"rendered":"http:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/?page_id=3416"},"modified":"2018-09-24T16:35:41","modified_gmt":"2018-09-24T14:35:41","slug":"chaos-deterministyczny","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/?page_id=3416","title":{"rendered":"Chaos deterministyczny"},"content":{"rendered":"

Chaos deterministyczny<\/h2>\n

Czy to w og\u00f3le ma sens? mo\u017ce od razu kaza\u0107 ma\u0142pie namalowa\u0107 obraz – wynik pewnie b\u0119dzie podobny \ud83d\ude09 Ale nie – has\u0142o ,,obrazy chaosu” jest celowo dobrane by zainteresowa\u0107 czym\u015b sprzecznym z nasz\u0105 intuicj\u0105, podopowiadaj\u0105c\u0105 nam jaki\u015b porz\u0105dek, regu\u0142\u0119 w procesie tworzenia obrazu. Tak jest i w tym przypadku – ale od pocz\u0105tku \ud83d\ude09<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Rysunek 1
\n(prostok\u0105t zakre\u015bla obszar do powi\u0119kszania – patrz Rysunek 2<\/i>)<\/p>\n

Prezentowane obrazy zosta\u0142y utworzone w ca\u0142kiem sprytny spos\u00f3b, bazuj\u0105cy na znanym w literaturze r\u00f3wnaniu logistycznym [1,2,3]:<\/p>\n

         (1)<\/center>
\ngdzie wielkosc N<\/b> zawiera si\u0119 w przedziale 0..1<\/b>, a R<\/b> w przedziale 0..4<\/b>. Indeksy stoj\u0105ce przy N informuj\u0105 jak powstaje kolejny wyraz ci\u0105gu – wida\u0107, ze w tym celu trzeba poda\u0107 poprzednia warto\u015b\u0107 ci\u0105gu , przemno\u017cy\u0107 przez R i przez r\u00f3\u017cnic\u0119 .<\/p>\n

R\u00f3wnanie (1) ma ciekaw\u0105 interpretacj\u0119: mianowicie mo\u017ce opisywa\u0107 populacj\u0119 kr\u00f3lik\u00f3w w stadzie (parametr N), kt\u00f3re rozmna\u017caj\u0105 si\u0119 z intensywno\u015bci\u0105 R. Jak wida\u0107 w (1) liczba kr\u00f3lik\u00f3w w stadzie (N) mo\u017ce rosn\u0105c proporcjonalnie do iloczynu ilo\u015bci kr\u00f3lik\u00f3w i intensywno\u015bci rozmna\u017cania (wyraz N*R z prawej strony (1)) – ale tez mo\u017ce i male\u0107, i to proporcjonalnie do kwadratu N (wyraz -N*R*N z prawej strony (1)). Taki ubytek populacji mo\u017cna \u0142atwo wyt\u0142umaczy\u0107 – mianowicie zaczyna brakowa\u0107 \u017cywno\u015bci dla coraz to wi\u0119kszego stada kr\u00f3lik\u00f3w na \u0142\u0105ce, a ze ka\u017cdy kr\u00f3lik musi co\u015b je\u015b\u0107, to biedne istoty zaczynaj\u0105 umiera\u0107…<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Rysunek 2
\n(zaznaczony prostok\u0105tem obszar po powi\u0119kszeniu – patrz Rys.3)<\/i><\/p>\n

Nietrudno si\u0119 domy\u015ble\u0107, \u017ce jest kilka scenariuszy ewolucji kr\u00f3lik\u00f3w: stado mo\u017ce wymrze\u0107 z g\u0142odu, gdy b\u0119dzie rozmna\u017ca\u0107 si\u0119 w zastraszaj\u0105cym tempie, lub tez mo\u017ce spokojnie \u017cy\u0107 niezmieniaj\u0105c swojej liczebno\u015bci – dla rozs\u0105dnej warto\u015bci parametru rozmna\u017cania. Jak wida\u0107 na tym prostym modelu rozmna\u017ca\u0107 nale\u017cy si\u0119 g\u0142ow\u0105 \ud83d\ude42 O tym, jaka b\u0119dzie przysz\u0142o\u015b\u0107 stada decyduje nie tylko liczba pocz\u0105tkowa kr\u00f3lik\u00f3w, ale (przede wszystkim!) parametr rozmna\u017cania.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Rysunek 3<\/i><\/p>\n

Mo\u017cna wi\u0119c zmienia\u0107 parametr rozmna\u017cania w spos\u00f3b ci\u0105g\u0142y od warto\u015bci 0<\/b> do warto\u015bci 4<\/b> i patrze\u0107, jak zachowa si\u0119 nasze stado. Taka symulacje przedstawia poni\u017cszy obrazek, gdzie na osi ,,iks\u00f3w” jest parametr R, a na ,,igrekach” parametr N (po 1000 krokach ewolucji\/iteracji). Dodatkowo, aby uniezale\u017cni\u0107 otrzymywane wyniki iteracji r\u00f3wnania (1) od warto\u015bci pocz\u0105tkowej N, dla ka\u017cdego R<\/b> z dziedziny 0..4<\/b> losuj\u0119 100 r\u00f3\u017cnych, losowych warto\u015bci pocz\u0105tkowych N i stawiam nie jeden punkt, ale 100 o wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych (R, N_i)<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wykres N(R) z r\u00f3wnania (1)<\/p>\n

Wyra\u017anie wida\u0107, \u017ce dla pewnego zakresu parametru R (i niezale\u017cnie od liczby pocz\u0105tkowej stada!) liczebno\u015b\u0107 ko\u00f1owa osi\u0105ga jedn\u0105, ustalon\u0105 warto\u015b\u0107 r\u00f3wn\u0105 zero<\/b>. Mo\u017cna by rzec, ze to smutne – takie stado nie prze\u017cywa. Dla innego zakresu parametru R stado jest ,,stabilne” i pewnie szcz\u0119\u015bliwe \ud83d\ude42 bo w wyniku ewolucji (1) osi\u0105ga jedn\u0105, okre\u015blon\u0105 warto\u015b\u0107 ko\u00f1cow\u0105 (r\u00f3\u017cn\u0105 od zera) i liczba ta nie zmienia si\u0119 z czasem. Wida\u0107 te\u017c, \u017ce dla innego zakresu parametru R liczebno\u015b\u0107 stada mo\u017ce przyj\u0105\u0107 jedn\u0105 z dw\u00f3ch<\/b> stabilnych warto\u015bci ko\u00f1cowych – czyli liczebno\u015b\u0107 N waha si\u0119 (,,skacze”) z jednej warto\u015bci N na inn\u0105 (r\u00f3wnie\u017c niezale\u017cnie od warto\u015bci pocz\u0105tkowej N). Przygl\u0105daj\u0105c si\u0119 dalej wida\u0107, \u017ce te dwie stabilne warto\u015bci ko\u00f1cowe N podwajaj\u0105 si\u0119 dalej dla wi\u0119kszych R, potem jeszcze si\u0119 podwajaj\u0105 i tak dalej…<\/p>\n

Wygodnie jest opisywa\u0107 ewolucj\u0119 stada za pomoc\u0105 parametru zwanego wyk\u0142adnikiem Lapunowa<\/b> [1,3], kt\u00f3ry przyjmuje warto\u015bci mniejsze od zera dla stabilnych warto\u015bci ko\u00f1cowych N, oraz warto\u015bci dodatnie dla stad rozrastaj\u0105cych si\u0119 chaotycznie. Taki parametr przyjmuje te\u017c warto\u015b\u0107 zero tam, gdzie nast\u0119puje rozszczepienie stabilnej orbity na dwie. Dla naszego poprzedniego obrazka wyk\u0142adnik Lapunowa<\/i> w funkcji R wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wyk\u0142adnik Lapunova L(R). Czerwona linia to L(R)=0.<\/i><\/p>\n

No i wracaj\u0105c do prezentowanych kolorowych obraz\u00f3w: powsta\u0142y one w wyniku obliczenia wsp\u00f3\u0142czynnika lapunowa, kt\u00f3ry nast\u0119pnie zosta\u0142 zamieniony na kolor. To w\u0142a\u015bnie w tej funkcji tkwi cala ,,tajemnica” – od niej zale\u017cy ,,pi\u0119kno” powsta\u0142ych obraz\u00f3w.<\/p>\n

A parametr R na prezentowanych obrazach? W\u0142a\u015bciwie to s\u0105 tu dwa parametry \ud83d\ude42 nazwijmy je Rx i Ry, zaraz oka\u017ce si\u0119 dlaczego \ud83d\ude09 Tak jak w dyskusji samego r\u00f3wnania logistycznego kre\u015bli\u0142em N w funkcji R (gdzie R zmienia\u0142o si\u0119 od 0 do 4), tak tutaj (Rysunek 1<\/i>) Rx zmienia si\u0119 od 0..4 id\u0105c z punktami na ekranie wzd\u0142u\u017c osi iks, a Ry od 0 do 4 id\u0105c z punktami ekranu wzd\u0142u\u017c osi igrek. A o wyborze miedzy Rx a Ry decyduje konkretna regu\u0142a, sta\u0142a dla ca\u0142ego obrazu (np. cykliczna sekwencja {Rx, Rx, Ry, Rx, Ry})<\/p>\n

Mo\u017cna zmienia\u0107 warto\u015bci ogl\u0105danych obszar\u00f3w, powi\u0119kszaj\u0105c interesuj\u0105cy nas fragment. Rysunki 2,3,4 przedstawiaj\u0105 w\u0142a\u015bnie powi\u0119kszone cz\u0119\u015bci Rysunku 1, a na nag\u0142\u00f3wkach okien wida\u0107 warto\u015bci wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w Rx i Ry.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Rysunek 4<\/i><\/p>\n

Chcia\u0142by\u015b zobaczy\u0107 kolejne powi\u0119kszenie? Mo\u017cesz sciagna\u0107 program (linki poni\u017cej), kt\u00f3rym to generowa\u0142em i samodzielnie si\u0119 pobawi\u0107 \ud83d\ude42 Nie zapomnij podes\u0142a\u0107 ciekawe zdj\u0119cia z miejsc, kt\u00f3re odwiedzi\u0142e\u015b \ud83d\ude42<\/p>\n

Literatura<\/b>:
\n[1] Andrzej Stasiewicz, KOMPUTER NA D\u0141UGIE WIECZORY, Wydawnictwo Lupus<\/i>, 1995
\n[2] Jacek Kuderewicz, FRAKTALE, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne<\/i>, Warszawa 1993
\n[3] H. G. Schuster, CHAOS DETERMINISTYCZNY WPROWADZENIE, Wydawnictwa Naukowe PWN<\/i>, Warszawa 1995
\n[4] John R. Taylor, MECHANIKA KLASYCZNA 2, Wydawnictwo Naukowe PWN<\/i>, Warszawa 2006<\/p>\n

Autor strony i prawa autorskie 2006: K. Gawryluk<\/a><\/p>\n

Programiki – obs\u0142uga (instrukcja)<\/h2>\n

Obs\u0142uga myszk\u0105 i klawiatur\u0105: Lewy Klawisz Myszy (LKM) rozpoczyna zaznaczanie obszaru do powi\u0119kszenia, kolejny raz LKM ko\u0144czy zaznaczanie obszaru – widoczny prostok\u0105t. Aby dosta\u0107 si\u0119 wewn\u0105trz tego prostok\u0105ta klikamy Prawy Klawisz Myszy (lub Enter). Zwi\u0119kszenie liczby iteracji dla ka\u017cdego punktu: klawisz “>” (wi\u0119kszy) na klawiaturze (zmienia dwukrotnie – wp\u0142ywa to na jako\u015b\u0107 obraz\u00f3w), oczywi\u015bcie “<” zmniejsza. Polepszenie dok\u0142adno\u015bci (rozdzielczo\u015bci, szczeg\u00f3\u0142owo\u015bci) – klawisz plus na klawiaturze (minus – zmniejsza). Spacja resetuje obszar.<\/p>\n

Programiki – Linux (wersja z dynamicznymi bibliotekami)<\/h2>\n

Program chaos <\/strong>MD5: 4f169afd98d1ea9242e84b0f0e9b53c8<\/code>, rozmiar: 24 kB, download, czyli kliknij i pobierz<\/a><\/p>\n

Program zuczek <\/strong>MD5: d8c7547f80d1c9e981fb0f1af42a2c5<\/code> , rozmiar: 24 kB, download, czyli kliknij i pobierz<\/a><\/p>\n

Nie zapomnij nada\u0107 uprawnienia wykonywalno\u015bci.
\nProblem z bibliotekami? wykonaj polecenie ldd chaos<\/strong><\/code> aby sprawdzi\u0107, czego brakuje (poni\u017cej dzia\u0142aj\u0105cy przypadek – wi\u0119c niczego nie brakuje).<\/p>\n

komputer[~\/] ldd chaos<\/strong><\/code>
\nlinux-vdso.so.1 => (0x00007ffff0dfd000)<\/code>
\nlibGL.so.1 => \/usr\/lib\/nvidia-384\/libGL.so.1 (0x00007fc8dce1a000)<\/code>
\nlibglut.so.3 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libglut.so.3 (0x00007fc8dcbd2000)<\/code>
\nlibstdc++.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libstdc++.so.6 (0x00007fc8dc850000)<\/code>
\nlibm.so.6 => \/lib\/x86_64-linux-gnu\/libm.so.6 (0x00007fc8dc547000)<\/code>
\nlibc.so.6 => \/lib\/x86_64-linux-gnu\/libc.so.6 (0x00007fc8dc17d000)<\/code>
\nlibnvidia-tls.so.384.130 => \/usr\/lib\/nvidia-384\/tls\/libnvidia-tls.so.384.130 (0x00007fc8dbf79000)<\/code>
\nlibnvidia-glcore.so.384.130 => \/usr\/lib\/nvidia-384\/libnvidia-glcore.so.384.130 (0x00007fc8da0bd000)<\/code>
\nlibX11.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libX11.so.6 (0x00007fc8d9d83000)<\/code>
\nlibXext.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libXext.so.6 (0x00007fc8d9b71000)<\/code>
\nlibdl.so.2 => \/lib\/x86_64-linux-gnu\/libdl.so.2 (0x00007fc8d996d000)<\/code>
\nlibXi.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libXi.so.6 (0x00007fc8d975d000)<\/code>
\nlibXxf86vm.so.1 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libXxf86vm.so.1 (0x00007fc8d9557000)<\/code>
\n\/lib64\/ld-linux-x86-64.so.2 (0x00007fc8dd15c000)<\/code>
\nlibgcc_s.so.1 => \/lib\/x86_64-linux-gnu\/libgcc_s.so.1 (0x00007fc8d9341000)<\/code>
\nlibxcb.so.1 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libxcb.so.1 (0x00007fc8d911f000)<\/code>
\nlibXau.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libXau.so.6 (0x00007fc8d8f1b000)<\/code>
\nlibXdmcp.so.6 => \/usr\/lib\/x86_64-linux-gnu\/libXdmcp.so.6 (0x00007fc8d8d15000)<\/code><\/p>\n

Je\u015bli u Ciebie jest problem, np.<\/p>\n

libglut.so.3 => not found<\/strong><\/code><\/p>\n

to trzeba zainstalowa\u0107 bibliotek\u0119 freeglut3, czyli (dla Ubuntu-podobnych dystrybucji) sudo apt install freeglut3<\/strong><\/code><\/p>\n

Je\u015bl pojawi si\u0119<\/p>\n

libGL.so.1 => not found<\/strong><\/code><\/p>\n

to (dla Ubuntu-podobnych dystrybucji) sudo apt install libgl1-mesa-dev<\/strong><\/code><\/p>\n

Ale sk\u0105d wiedzie\u0107, co instalowa\u0107? c\u00f3\u017c, google it!<\/strong> (np. Ubuntu problem libGL.so.1 => not found)<\/p>\n

Programiki – Windows<\/h2>\n

Program chaos.exe <\/strong>(pod Windows) MD5: b6976791f09f98555d32b7a943e7560d<\/code>, rozmiar: 328 kB, download, czyli kliknij i pobierz<\/a><\/p>\n

Program zuczek.exe<\/strong> (pod Windows) MD5: 03238f44f89a31482c2fbbaf71e6faf2<\/code>, rozmiar: 324 kB, download, czyli kliknij i pobierz<\/a><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

W przypadku komunikatu o brakuj\u0105cej bibliotece freeglut.dll <\/strong>trzeba j\u0105 \u015bci\u0105gn\u0105\u0107: wersja 32-bitowa<\/a>, lub wersja 64-bitowa<\/a>. Bibliotek\u0119 nale\u017cy umie\u015bci\u0107 w katalogu C:\\Windows lub w katalogu, gdzie znajduj\u0105 si\u0119 pobrane pliki chaos.exe (i\/lub zuczek.exe). Biblioteka dll zosta\u0142a zaczerpni\u0119ta z oficjalnej strony projektu https:\/\/sourceforge.net\/projects\/freeglut\/<\/a>  i nie jest moj\u0105 w\u0142asno\u015bci\u0105.<\/p>\n

Nie wida\u0107 biblioteki w katalogu, gdzie zwykle s\u0105 pobierane pliki? Mo\u017ce masz w\u0142\u0105czone “Nie pokazuj ukrytych plik\u00f3w, folder\u00f3w ani dysk\u00f3w” – zmie\u0144 to (wybieraj\u0105c “Poka\u017c ukryte pliki, foldery i dyski”) a b\u0119dziesz widzie\u0107 bibliotek\u0119!<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

(c) K. Gawryluk, 2018<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Chaos deterministyczny Czy to w og\u00f3le ma sens? mo\u017ce od razu kaza\u0107 ma\u0142pie namalowa\u0107 obraz – wynik pewnie b\u0119dzie podobny \ud83d\ude09 Ale nie – has\u0142o ,,obrazy chaosu” jest celowo dobrane […]<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":8304,"parent":0,"menu_order":50,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"Layout":"1c","footnotes":""},"categories":[1,35,27,23],"tags":[],"class_list":["entry","author-gawryl","post-3416","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","category-bez-kategorii","category-popularyzacja_pl","category-post_news_pl","category-student_pl"],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/P7nvcn-T6","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3416","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3416"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3416\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8313,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3416\/revisions\/8313"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/8304"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3416"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3416"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/physics.uwb.edu.pl\/wf\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3416"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}